Noen av dere som forstår Heisenberg uskarphetsrelasjon?
Heisenbergs uskaphetsrelasjon er egentlig ikke så uforståelig som mange vil ha det til, men det krever at man forstår et par poenger. Deler av dette er forklart på Wikipedias side. Skal gi et lite forsøk på å utdype selv om en god forklaring nok hadde krevd litt grafikk.
Når man beskriver en partikkel i kvantemekanikk, gjør man det ikke som et punkt, men som en bølge. La oss si at f(x) beskriver partikkelen der f(x) tar verdier som er komplekse tall: dvs. at f(x)=p(x)+i*q(x) der i er den imaginære enhet som har egenskapen at i^2=-1. Det er vanlig å normalisere denne slik at integralet av |f(x)|^2=p(x)^2+q(x)^2 er lik 1, og da tolkes gjerne |f(x)|^2 som sannsynligheten for at partikkelen vil bli funnet i punktet x dersom man måler posisjonen.
En partikkel med en forholdsvis skarp posisjon, f.eks. i origo for å gjøre ting enkelt, er dermed beskrevet med en funksjon f(x) som er null eller har veldig lav verdi langt fra origo og stor verdi nær origo.
En partikkel med bevegelsesmengde eksakt lik p (der p=mv for en partikkel med masse m og hastighet v) er gitt ved en eksakt sinus-cosinus-bølge, f(x)=cos(2*pi*p*x-a)+i*sin(2*pi*p*x-a) for en eller annen konstant a. Denne er riktignok ikke normalisert: i stedet er |f(x)|^2=1 og har altså uendelig utbredelse. NB: Merk at jeg her har droppet Plancks konstant og andre konstanter som egentlig skal inn her for å gjøre formlene enklere.
På samme måte som en partikkel med en helt bestemt hastighet må ha uendelig utbredelse, kan man uttrykke en partikkel med en bestemt posisjon som en kombinasjon av bølger på formen cos(2*pi*p*x)+i*sin(2*pi*p*x) der alle p bidrar like sterkt: altså der partikkelen er satt sammen av alle mulige hastigheter.
Mere generelt kan vi skrive enhver bølge f(x) uttrykt gjennom bølger gjennom Fourier-transformasjonen,
. . . f(x) = Integral F(p) * [cos(2*pi*p*x)+i*sin(2*pi*p*x)] dv,
som har den inverse formen
. . . F(p) = Integral f(x) * [cos(2*pi*p*x)-i*sin(2*pi*p*x)] dx,
der F(p) igjen er et komplekst tall og |F(p)|^2 er sannsynligheten for å måle bevegelsesmengden til å være p.
Eksakt posisjon betyr altså at bevegelsesmengden er helt ubestemt, mens eksakt bevegelsesmengde betyr at posisjonen er helt ubestemt. Tilsvarende vil svært presis (men ikke helt eksakt) posisjon innebære at bevegelsesmengden er nær ubestemt/svært uskarp.
Matematikken som leder frem til den eksakte formen av uskarphetsrelasjonen skal jeg droppe her: den er det nok bedre å finne på en nettside med litt bedre rom for forklaring. Hovedideen bak er dog forholdsvis enkel.
Dersom f(x) har en form slik at |f(x)|^2 er konsentrert i et område med bredde 2*sigma_X, mere konkret at sigma_X er standardavviket til x dersom vi ser på |f(x)|^2 som en sannsynlighetstetthet, så må f(x) uttrykt på formen
. . . f(x) = Integral F(p) * [cos(2*pi*p*x)+i*sin(2*pi*p*x)] dv
inneholde bølger der p kan variere over et område med bredde 2*sigma_P, hvor liten sigma_X innebære stor sigma_P. Årsaken er at dersom man skal summere cos-sin-bølger med uendelig utstrekning slik at de nær nuller seg ut utenfor et lite område, må man la frekvensene til disse bølgene variere tilsvarende mye for å unngå at det finnes punkter x der bølgene ikke nulles ut. Den eksakte formen på usikkerhetsrelasjonen er sigma_X*sigma_P>=hbar/2.
En annen indikasjon er at dersom vi erstatter f(x) med f(x/k)/sqrt(k) for en eller annen k>0, vil F(p) endres til F(p*k)*sqrt(k). Faktoren sqrt(k) er kun for å normalisere slik at normen forblir 1. Uansett gjør dette at bredden av fordelingen |f(x)|^2 ganges med k, dvs. sigma_X endres til sigma_X*k, mens variasjonen i bevegelsesmengden reduseres tilsvarende fra sigma_P til sigma_P/k. Følgelig blir sigma_X*sigma_P ikke endret av denne transformasjonen: når man krymper bredden sigma_X, må bredden sigma_P for bevegelsesmengden øke tilsvarende.